Intégrale de Selberg

En mathématiques, l'intégrale de Selberg est une généralisation de la fonction bêta d'Euler à n dimensions introduite par Atle Selberg en 1944.

Formule intégrale de Selberg

(Selberg 1944) démontre que si $\mathrm {Re} (\alpha )>0,\mathrm {Re} (\beta )>0,\mathrm {Re} (\gamma )>-\min \left({\frac {1}{n}},{\frac {\mathrm {Re} (\alpha )}{n-1}},{\frac {\mathrm {Re} (\beta )}{n-1}}\right)$, alors

${\begin{aligned}S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )&=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}\\&=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac {\Gamma (\alpha +j\gamma )\Gamma (\beta +j\gamma )\Gamma (1+(j+1)\gamma )}{\Gamma (\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\Gamma (1+\gamma )}}.\end{aligned}}$

La formule de Selberg implique l'identité de Dixon pour les séries hypergéométriques bien équilibrées et certains cas particuliers de la conjecture de Dyson.

Formule intégrale d'Aomoto

(Aomoto 1987) a démontré une formule intégrale légèrement plus générale :

$\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}$

$=S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.$

Intégrale de Mehta

L'intégrale de Mehta, introduite par Madan Lal Mehta, est

${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\prod _{i=1}^{n}e^{-t_{i}^{2}/2}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,\mathrm {d} t_{1}\cdots \mathrm {d} t_{n}.$

C'est la fonction de partition pour un gaz de charges ponctuelles qui se déplacent sur une droite et sont attirées vers l'origine (Mehta 2004). Sa valeur peut être déduite de celle de l'intégrale de Selberg, c'est

$\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+j\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.$

Cela a été conjecturé par (Mehta et Dyson 1963), qui n'étaient pas au courant des travaux antérieurs de Selberg.

Intégrale de Macdonald

(Macdonald 1982) a proposé l'extension suivante de l'intégrale de Mehta pour tous les systèmes de racines finis. L'intégrale originale de Mehta correspond au système de racines An-1. Il s'agit de

${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left|\prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.$

Le produit porte sur les racines r du système de racines et les nombres d_j sont les degrés des générateurs de l'anneau des invariants du groupe de réflexion associé. (Opdam 1989) a donné une preuve uniforme pour tous les groupes de réflexion cristallographiques. Plusieurs années plus tard, il l'a prouvée en toute généralité ((Opdam 1993)), à l'aide de calculs assistés par ordinateur par Garvan.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Selberg integral » (voir la liste des auteurs).
• (en) George E. Andrews, Richard Askey et Ranjan Roy, Special functions, vol. 71, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications », 1999 (ISBN 978-0-521-62321-6, MR 1688958) (chapitre 8)
• (en) K. Aomoto, « On the complex Selberg integral », The Quarterly Journal of Mathematics, vol. 38, n^o 4,‎ 1987, p. 385-399 (DOI 10.1093/qmath/38.4.385)
• (en) Peter J. Forrester et S. Ole Warnaar, « The importance of the Selberg integral », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 45, n^o 4,‎ 2008, p. 489-534 (DOI 10.1090/S0273-0979-08-01221-4, arXiv 0710.3981)
• (en) I. G. Macdonald, « Some conjectures for root systems », SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 13, n^o 6,‎ 1982, p. 988-1007 (ISSN 0036-1410, DOI 10.1137/0513070, MR 674768)
• (en) Madan Lal Mehta, Random matrices, vol. 142, Amsterdam, Elsevier/Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics », 2004, 3^e éd. (ISBN 978-0-12-088409-4, MR 2129906)
• (en) Madan Lal Mehta et Freeman J. Dyson, « Statistical theory of the energy levels of complex systems. V », Journal of Mathematical Physics, vol. 4, n^o 5,‎ 1963, p. 713-719 (ISSN 0022-2488, DOI 10.1063/1.1704009, Bibcode 1963JMP.....4..713M, MR 0151232)
• (en) E. Opdam, « Some applications of hypergeometric shift operators », Invent. Math., vol. 98, n^o 1,‎ 1989, p. 275-282 (DOI 10.1007/BF01388841, Bibcode 1989InMat..98....1O, MR 1010152, lire en ligne)
• (en) E. Opdam, « Dunkl operators, Bessel functions and the discriminant of a finite Coxeter group », Compositio Mathematica, vol. 85, n^o 3,‎ 1993, p. 333-373 (MR 1214452, zbMATH 0778.33009, lire en ligne)
• (en) Atle Selberg, « Remarks on a multiple integral », Norsk Mat. Tidsskr., vol. 26,‎ 1944, p. 71-78 (MR 0018287)